何小亚教授——2022年数学高考全国I卷十问？

邹生书数学 2022-08-16

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2022年数学高考全国I卷十问？

华南师范大学数学科学学院何小亚

感谢何小亚教授将此大作授权公众号

《邹生书数学》发布！

1.高中三年的数学白学了？

简单题只有两题：第1题，集合题；第2题，复数题.其余的题大多是中上难度以上的题. 佛祖也怀疑人生：绝大多数考生不懂高中数学？

2.时间都去哪儿了？

全卷只有19题有图形，但也要作辅助线，而第3、4、8、9、10、11、14、16、18、21、22题，这么多题要考生自己画图.考生懵逼：时间都去哪儿了？

3.计算量合适吗？

计算量太大.除了立体几何比较正常外，函数和圆锥曲线部分重复的计算量很大.运算复运算，考生泪心酸！

4.知识内容、方法分布合理吗？

知识点分布不合理，重复内容、重复方法过多. 第10、14、15重复考查了切线；对于韦达定理则是矫枉过正，以前的课程标准不作要求，现在则是在第11、16、21重复考查了韦达定理；导数居然重复在第7、8、10、15、18、22题考查.天呐，干嘛出那么多切线、韦达定理、导数高考题？现在的国家栋梁，他们当年高考根本没考导数啊！

5.哪些试题比较“精彩”？

第19题，这是一道思维量、计算量控制得比较好的立体几何题，几何法与坐标法的难度比较均衡，而且把立体几何的核心内容都考察到位了.唯一的遗憾是没有按照中、中上、难来三级设问，影响了得分率.

第20题，因形式新颖且复杂而吓死宝宝的“纸老虎”概率题.懂概率的人都知道，条件概率是个好东西，利用它可以把一个很难求的复杂事件的概率转化为一些简单事件的条件概率之和——全概率公式，体现了“追求简单化！”这一数学灵魂，进而得出计算条件概率的贝叶斯公式.好东西就是要经常考！只不过第1问的答案有点不精确的古怪：结果已经是有999‰的把握了，你却问有没有99%的把握.就好比是人家已经结婚了，你却问人家有没有99%的把握结婚，呵！呵！

第22题，函数压轴题.纯粹从试题本身而言，小巧玲珑，结构新颖，思维巧妙，非常漂亮，给命题人点个赞！对基本初等函数的增长快慢和相互之间的联系，以及对独立性检验、条件概率等数学概念理解深刻这些基本功（鄙人走南闯北反复强调的“葵花宝典”）扎实的考生，此题和20题其实并不难啊！好多优秀生都被前面那些毫无创意的繁难的陈旧高考题缠住了，根本没机会展示自己的基本功.那么多 “未来的科学家”被埋没，我为中国感到痛惜！请原谅我的杞人忧天！

2019年的全国I卷第4题“维纳斯美女题”已经犯了一个单选题居然既可以选B又可以选C这么严重的错误^[1]. 真是巧了，今年的全国I卷中最糟糕的又是第4题.

首先，打着育人的噱头，为联系实际而联系实际，生搬硬套，毫无技术含量且粗暴地把两水位间的水库形状看作一个棱台.老百姓会骂你啊：能这样看吗？眼瞎了？为什么不用专业一点的数学建模术语“理想化为”或者是“简化假设为”来表达.但理想化不是胡思乱想和痴心妄想，要遵从合理性、科学性，不要给老百姓造成数学傻儿的印象.

其次，此题考什么？这是考死记硬背——袁亚湘院士极力反对的语文老师教的数学，是数学学习中最低层次的水平.有人狡辩称，这是考你估算，谁叫你去算啊？你考估算，那为什么还要给出什么参考数据近似值2.65，考数学还考“躲猫猫”？还有人狡辩说，就是要考你自己推导棱台体积公式！既然是这样，为什么不设计成类比猜想、逻辑证明、推广应用的压轴题？这是第4小题哦，后面还有那么多的繁难题，哪有时间来推导啊！况且这一批考生因初中要求降低，有几个知道“相似多边形面积之比等于相似比的平方”还要转化为棱锥高之比.上周与11个数学教授把酒问青天，我问了一下，没有一个记得棱台体积公式，当然我除外.要是他们今年参加高考，肯定是没机会做数学教授啦，呵呵！

第三，从社会政治的角度，此题是绝大多数人做不了，才第4题啊，考生心里怎么想？“好你个‘南水北调’，你要了我的命！”这不是拉仇恨、给社会添乱吗？要想考生喜欢、关注“南水北调”，为什么不设计成简单题？充分地发挥心理光环效应——会做心中自然爽！如此才能做到“引导学生关注社会主义建设成果，增强社会责任感.”

6. 这套试卷的导向好不好？

这套试卷的导向很不好，如此考法，大家只能去狂刷二级结论题.

有人居然宣称，这套试卷就是为反刷题而出.如此说法，如果不是不够专业的话，那就是居心不良.今年这样的全国卷，你不刷题行吗？今年大家数学都考得不好，因为分数比平时少了三、四十分.那些刷知识拓展和挖掘深度的题的学校有优势，那些刷题强度够，但只是蜻蜓点水、跟屁虫式地刷的学校则是白刷了.

用那么多毫无创意的陈旧难题，能选拔出喜欢数学，有数学天赋的考生？你们知不知道许多中学、培训机构里有很多厉害的高中数学老师总结出了对付全国卷的套路？

要对付这样的全国卷，老师们不得不去刷许多“二级结论”.例如，陈旧的21题两问的运算量都很大，对付第一问，刷齐次化解法；对付第二问，三角形面积公式要拓展到第6个：顶点坐标行列式公式，别忘了系数是二分之一哦！又比如，第12题，比较陈旧的高考题，它难在需要熟悉三个二级结论：“若函数f(x)既关于直线x=a也关于点(b，t)对称（ab），则此函数是周期函数，其周期等于……（此处省略不写结果和另外两个二级结论，以考考全国的数学教授读者们，嘻！嘻！）”另外，弦振动函数的8个结论；三次多项式函数其图像何时是 N形，何时是∨\形？同构函数：寻找同构函数比大小、10大导函数不等式专题、四种指数、对数同构函数型；不等式证明中的作差构造、化简整理构造、同构变换构造、极值点偏移问题；函数恒成立问题、分离变量法、极限法、洛必达法则法、上下凸函数不等式与二阶导数.^[2]只要是智力没有问题的学生，在这些厉害的老师的帮助下，也能取得很好的分数.换句话说：“乌鸡能变凤凰！”国家真正需要的是选拔出努力上进、有学习潜力的真正人才，而不是一窝窝名校的“乌鸡”！

7.教育部统一命题能保证命题的质量？

你想想，每年就那么一些命题人，况且这么多年，每年要命制六套高考试卷，他们能不江郎才尽吗？解决这一难题，还是要数学的化归思想：分类简化，放权管理，实施分省命题，如此可以降低风险，保持试题的创新.为了公平，命题组里的中学老师不能命制试题.过去分省命题，7个命题人，只有一个中上水平的中学老师，为了保证公平，他是不能出题的.其角色一是大学教授与中学师生的沟通者；二是试卷出好后让其来试考，以此来掌控难度.

8.为什么要让数学来背“选拔性不好”这口黑锅？

这套卷子考下来的结果就是简单粗暴地难.有人辩解说，是为了选拔人才而故意把数学卷出难的.这样的理由根本站不住脚！

首先，选拔人才的三个主科是语文、英语和数学.英语本质上就是语文，只是发音形式和书写形式不同.你既然想要“科技强国”，为什么不先解决三科“文重理轻”的结构不平衡问题？为什么不可以调整这三科的总分为：语文150分，英语100分，数学200分（突出数学“强国”地位，扩大选拔区间，解决分数扎堆问题，和语文一样考150分钟）？

其次，数学是生产力，数学是财富，数学是独立于社会科学和自然科学之上的学科，它是决定我们国家未来“科技强国”“解决‘卡脖子’问题”等国策成败的关键.怎么能把大多数努力上进，喜欢数学，有数学学习潜力的真正人才考“趴下了”？为什么要让他们受“习得性无助”的伤害？你让2023届使用全国I卷的近四百万考生如何面对数学？为什么要让数学教师在英语老师、语文老师面前抬不起头？你让学科地位至高无上的数学老师情何以堪？让这么多人因数学而心里添堵，你这不就是给国家添乱吗？怎么能让这么重要的数学学科背选拔性不好这口“黑锅”？

第三，众所周知，试卷不是越难越有区分度，尤其是今年这套卷子.大家都明白：“提高1分，干掉1千！”可是，细密的天网塌了三、四十分，你还能干掉谁？当前，数学在为各高校选拔人才方面确实扮演着重要角色，但选拔性不是说一定要把北大、清华与中大、华工、暨大、华师这些学校区分出来，筛子太细，反而把人才筛掉了.

9. 高考数学试卷如何选拔出“科技强国”的数学“凤凰”？

建议借鉴过去全国各地分省命题成功的经验，考虑到文理合卷的现实，比较好的难度分数比例结构是易20%、中30%、中上30%、难20%；五道填空题，可以选择三道分别按照易、中；中、中上；中上、难来设置两空：六道解答题都设置三问，前三道题的三问按照“易、中、中上”的难度设置，后三道题的三问按照“中、中上、难”的难度设置.不能把很多选择题和填空题小题当着解答大题来出.确定好创新题和难题后，一定要运用双向细目表来保证那些重要知识点的覆盖率，避免再出现重复内容、重复方法的考查.如此难度结构的高考试卷，加上那么多名校的“强基计划”、自主招生、数学竞赛，足以保证选出真正的“凤凰”.

高考要想选拔出真正的数学“凤凰”，数学试题必须致力于考查学生对数学概念和数学原理的本质理解，通过设置背景、内容新颖的问题（problem）来考查学生独立的问题解决能力.要多出一些考查数学思维品质，“刷题”没用但与智力密切相关的problem，……（专业秘籍，此处省略1000字，呵呵！）少出那些刷二级结论的难题，因为数学真正好的学生能够现场构造一个新的反应，而不是重复一个旧的反应.

10.高考困难中考容易行不行？

鉴于高考扮演着为各个高校选拔人才的第一重任，因此，与中考相比，其难度要求是必要的，但中考则不然.为了落实“双减”政策，教育部今年3月29日专门发文《教育部办公厅关于做好2022年中考命题工作的通知》指导全国各地的中考命题工作，“要科学设置试卷难度”“中考、毕业两考合一，……，防止试卷过难，增加学生学业负担……”.于是，今年各省市中考数学试卷的难度急剧下降，考生开心、家长开心、教师开心，实现了真正的减负.不过一到录取时候，很多数学特长生却哭了：“虽然今年很简单，但我还是很想哭.三年努力学数学，数学优势白费了！”“我哭死啦，平时就靠数学拉别人二三十分，呜！呜！呜！”

参考文献

[1]何小亚.也谈高考美女“维纳斯”[J].中学数学月刊，2019，11：64-65

[2]何小亚.2016年数学高考全国1卷的认知分析和备考及命题建议[J].中学数学研究（上半月）,2016,10:0-10

作者简介：华南师范大学数学教授，教育部“国培计划”专家库首批专家，全国教育专业学位研究生教育指导委员会理科专家，主要从事数学教学和数学高考的研究工作.有7年的数学高考命题或命题组长工作经验.参与完成国家级、省级教育科研项目12项，在国内外刊物上发表学术论文70余篇，出版或参与出版著作24部.2010年被评为全国教育硕士优秀教师.指导研究生多次获得全国优秀论文.指导本科生多次获得全国教学大赛冠军.主编的中学数学教学设计一书入选教育部本科国家级教材.承担教育部重大课题攻关项目“我国高中阶段学生核心素养的模型及指标体系研究”，是教育部考试中心重大项目“高考评价体系研究”项目组专家。

以下几篇作者的论文也值得一读。

1.何小亚.回应《姜伯驹：新课标让数学课失去了什么》[J]. 广东教育. 2006(6):55-57

2.何小亚.2016年数学高考全国1卷的认知分析和备考及命题建议[J].中学数学研究（上半月）,2016,10:0

-10

3.何小亚.高中概率模型学与教中的问题和对策[J].数学教育学报,2017,26(1):37-40

4.何小亚.也谈高考美女“维纳斯”中学数学月刊，2019，11：64-65

5.何小亚.数学情境创设的内涵、作用、误区和标准[EB/OL].http://www.360doc.com/content/21/1210

/08/67733731_1008040406.shtml

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何小亚教授往期文章链接：

4.何小亚教授——义务教育数学课程标准（2022年版）之反思